Je sais que pour les étudiants venant des sections L, ES et parfois même S le mot "Mathématiques" représente aujourd'hui un horrible cauchemar, mais j'aimerais faire en sorte qu'à la fin de ce premier "cours", cette idée ait déjà un minimum changé.
Tout d'abord pourquoi écrit-on "mathématiques" au pluriel, alors que nous écrivons biologie, physique, histoire et géographie... Et bien parce que ces derniers se trompent. Tout comme il existe plusieurs branches dans les mathématiques, il existe plusieurs branches de biologie, de physique ...
Les mathématiques, à ma connaissance, sont essentiellement constituées de trois domaines (par ordre chronologique d'apparition) :
• La géométrie : tout le monde sait ce que sait, car tout le monde l'a pratiquée depuis l'école primaire, puis durant tout le collège et encore durant le lycée pour certain(e)s.
• L'analyse : pour beaucoup ce nom doit être totalement inconnu, mais pourtant tout le monde a fait de l'analyse durant son cursus, mais tout cela sans le savoir (les joies des programmes scolaires français). L'analyse consiste en majorité à l'étude des fonctions ( tout ce qui s'écrit sous la forme f(x)=... par exemple ), mais aussi à à l'étude des statistiques et des probabilités.
• L'algèbre : le domaine qui reste le point noir des lycéens, puisque totalement inconnu ou presque. Les sections S spé maths y touchent un peu, mais à nouveau sans le savoir, dans la partie du programme de spécialité de terminale intitulé "arithmétique", alors que les sections ES spé maths entrouvent cette même porte inconnue avec une introduction aux matrices ( je ne m'étendrais pas sur que ce sont les matrices, ce n'est pas très important pour le moment ). L'algèbre est le dernier grand domaine inventé par les mathématiciens et pourtant elle constitue la base des maths, car c'est dans ce domaine qu'on est arrivé le mieux à définir toutes les notions essentielles des mathématiques. L'algèbre représente les fondations de la maison "Maths".
Bien qu'en apparence très distincts, ces trois domaines sont très liés. Vue que la plupart des inscrits sur ce forum sont des étudiants en LEA ou LLCE, je vais faire une analogie avec les langues. En considérant les mathématiques comme l'ensemble des langues occidentales ( pour être en accord avec mes connaissances sur ce sujet ), on peut faire le lien. Ces trois domaines des mathématiques sont donc liés tout en étant différent, dans le sens où comme les langues occidentales ont pour une grande majorité de mots une racine commune qui est le latin. Pourtant ces mêmes langues possèdent des mots identiques (d'orthographe et de sens ) ou suffisament proches pour qu'on puisse en déviné le sens sans même connaître la langue. Il en va de même dans les maths, les trois domaines définit plus haut possèdent de grandes différences d'esprit, d'histoire et d'avenir, mais dans le même temps partage un socle commun.
Ainsi, lorsqu'on fait l'étude d'une fonction, la plupart du temps la première chose à laquelle on pense bien sur, c'est à sa représentation graphique, qui nécessite donc un passage dans la géométrie apprise à l'école et au collège.
Le lien entre analyse et algèbre sera moins facile à expliquer : (désolé de rentrer dans des exemples concrets qui pourront paraître rébarbatifs pour certain(e)s)
Prenez la fonction suivante : f(x) = 3x² + 2x - 5, c'est une fonction polynôme, pour ceux qui connaissait le nom (pour ceux qui le nom était inconnu, il vient du fait que l'on trouve dans l'expression de la fonctions plusieurs puissances de la variable x --> x² et x dans ce cas ). Ce type de fonctions est généralisé en algèbre sous la forme simple
P = 3X² + 2X - 5, en apparence rien de bien différent, si ce n'est que l'on a remplacé x par X et f(x) par P ( pour polynôme ), mais en réalité, cela change bien des choses et ainsi l'étude des polynômes devient quelque chose de très poussé et de très important pour toutes les mathématiques. Pour preuve, que ce soit les concours d'écoles d'ingénieur, le concours du CAPES ou d'AGREGATION, il y a très peu de sujets qui tombent dans lequel il n'y ait pas un exercice sur ces polynômes.
Enfin le lien entre algèbre et géométrie : pour exemple l'étude d'une symétrie par rapport à un axe (bien que simple en apparence, nécessite en fait d'avoir bien appris son cours ) et de ses diverses propriétés se fait dans neuf cas sur dix en algèbre. Pourtant même si le domaine algèbre reste quelque chose d'assez abstrait, la symétrie est un élément de géométrie que l'on étudie assez tôt lors de notre cursus ( en 5ème il me semble ), il devient donc facile d'interpréter ses propriétés énoncées en algèbre par un dessin et qui dit dessin, dit géométrie.
Vous voyez donc maintenant, ou du moins j'espère que vous avez eu un aperçu de la diversité de l'univers des Mathématiques. Mais je pense que vous avez du remarquer surtout l'omniprésence du mot "géométrie". Le socle commun que j'ai évoqué quelques lignes plus haut s'avère être dans 99% des cas un des trois domaines, c'est à dire la géométrie. Je vais donc maintenant vous parler de la géométrie et je pense que cela sera d'autant plus parlant si je rajoute des dessins à mes propos, ce que je vais essayer au maximum de faire.
Peut être certains le savent, mais la géométrie que nous étudions depuis notre plus jeune âge et que nous avons ensuite étudiée au collège et au lycée se nomme "Géométrie Euclidienne", en référence à Euclide, célèbre mathématicien pour avoir été le premier à définir correctement la géométrie du monde qui nous entoure et à l'avoir rédigé dans un livre ( livre étant dans le top 5 des livres les plus vendus de tous les temps, derrière Harry Potter et la Bible entre autres ) se nommant "Les Eléments". Pour l'essentiel de sa vie on sait qu'il vécut aux alentours de -325 et -265 et qu'il enseignait à Alexandrie. C'est notamment grâce à lui que l'on connaît le fameux théorème de Pythagore puisque ce dernier n'a laissé quasiment aucune trace de son existence et encore moins d'écrits.
Alors qu'à fait de merveilleux ce bonhomme ? Il a tout fait on va dire, il est le père fondateur de ce que nous savons aujourd'hui, sans son travail, dieu seul sait où les mathématiques en serait aujourd'hui, peut être qu'elles n'existeraient pas ( yes !!! s'exprimeront certains ). Dans son livre "Les Elements", il commence par donner quelques définitions nécessaires à la bonne compréhension de son oeuvre (notamment "point", "ligne"...), puis énonce 5 postulats ou axiomes, 5 phrases qui resteront ancrées dans l'inconscient de tous pour les siècles à venir. Il faut savoir que axiome ou postulat, en mathématiques signifie "propriété de base, qui ne se démontre pas (ou par abus, indémontrable)". Voici donc ces 5 axiomes (tels que les a rédigés Euclide dans son livre)
• (1) "Quil soit demandé de mener une ligne droite de tout point à tout point"
• (2) "Et de prolonger continûment en ligne droite, une ligne droite limitée"
• (3) "Et de décrire un cercle à partir de tout centre et au moyen de tout intervalle"
• (4) "Et que tous les angles droits soient égaux entre eux"
• (5) "Et que, si une droite tombant sur deux droites fait les angles intérieurs et du même côté plus petits que deux droits, les deux droites, indéfiniment prolongées, se rencontrent du côté où sont les angles plus petits que deux droits".
Bien sur ces postulats sont rédigés dans le langage d'Euclide avec la connaissance des Mathématiques de son époque, pour cela je vais vous expliquer leur sens et cela aussi avec l'aide de plusieurs dessins.
• (1) " Qu'il soit demandé de mener une ligne droite de tout point à tout point"
On peut traduire ce premier postulat par, la phrase plutôt connue : "le plus court chemin entre deux points est la ligne droite". Ce qu'on voit très bien sur ce premier dessin. La distance parcourue entre les points A et B est de manière évidente plus courte quand on emprunte le chemin D que lorsqu'on emprunte le chemin C. Euclide définit ainsi la notion de segment.
• (2) "Et de prolonger continûment en ligne droite, une ligne droite limitée"
Euclide définit ici le fait qu'une droite peut être de longueur infinie. Prenons par exemple un segment [AB], on prolonge ce segment du coté de B par exemple, autant que l'on souhaite, on obtient ainsi une droite de longueur indéfinie (puisqu'allongée de manière aléatoire ). Le segment possède une longueur qui lui est propre alors que la droite n'a pas de caractérisation par sa longueur, puisque pouvant être infinie.
• (3) "Et de décrire un cercle et au moyen de tout intervalle"
C'est selon moi le postulat le plus clair. En des termes proches d'Euclide, on peut dire qu'à partir d'un point quelconque d'un segment on peut réaliser un cercle. Sur le dessin ci-dessous, les segments [AB] et [AB'] sont de mêmes longeurs. Le cercle se dessine à partir de tous les points B issus de la rotation du segment [AB] autour de A (j'espère avoir été clair sur ce coup là mais rien ne vaut un dessin, désolé si ce n'est pas très exact, je fais ça sous Paint ).
• (4) "Et que tous les angles droits soient égaux entre eux"
Oui vous avez bien lu, "que tous les angles droits soient égaux entre eux", et non Euclide n'avait pas fumé de substances considérée comme illicites de nos jours. Cela paraît évident de notre temps, mais dans ce genre de proposition, il est important de se replacer dans le contexte historique et de savoir que les mathématiques à l'époque d'Euclide se limitaient jusqu'alors à l'étude de quelques figures à angles droits (permettant l'appplication du théorème de Pythagore ) ainsi qu'aux nombres naturels ( 1, 2, 3, 4, 5 ... le 0 n'existant pas encore, et les nombres négatifs ou décimaux encore moins ). Je ne pense pas qu'un dessin soit utile, si besoin est, précisez-le moi.
• (5) " Et que, si une droite tombant sur deux droites fait les angles intérieurs et du même côté plus petits que deux droits, les deux droites, indéfiniment prolongées, se rencontrent du côté où se sont les angles plus petits que deux droits".
Sous ces apparences de complexité, cet axiome n'est rien d'autre que l'axiome plus connu sous la forme moderne de : "étant donné une droite et un point qui n'est pas sur cette droite, il existe une seule et unique droite parallèle à la première passant par ce point" (formulation de John Playfair, mathématicien écossais, datant de 1795).
On considère les trois droites D, D' et D". Si les deux droites D et D' sont parallèles et la droite D" est perpendiculaire à une des deux droites, alors elle est perpendiculaire à la seconde d'après ce postulat. Réciproquement, si D" est perpendiculaire à D et à D' alors D et D' sont parallèles (cette propriété géométrique a été vue en classe de 4ème ou de 5ème il me semble).
Ce postulat a fait beaucoup parlé de lui parce que beaucoup de mathématiciens jusqu'à la fin du 19ème siècle, pensaient qu'il ne s'agissait en réalité que d'une propriété qu'Euclide n'avait pas réussi à démontrer. Pendant près d'un siècle de nombreux mathématiciens de renoms ont travaillé d'arrache-pied sur une possible démonstration de cet axiome sans jamais obtenir satisfaction. D'ou vient le problème alors ? La réponse fut donnée en deux temps. En fait je vous ai donné le nom de géométrie euclidienne au début, mais la précision "euclidienne" n'aurait aucun intérêt si évidemment il n'existait pas d'autres géométries. Vous me direz alors : comment peut-il exister d'autres géométries, puisque le but d'Euclide était de décrire le monde qui l'entourait par sa géométrie. La réponse fut donnée, pour le premier temps, par un mathématicien russe (il me semble) du nom de Lobachevsky. Vers le milieu du 19ème siècle, alors que les mathématiques avait largement progressé depuis Euclide, Lobachevsky démontra qu'il existait un autre type de géométrie satisfaisant les 4 premiers axiomes d'Euclide mais ne satisfaisant pas le cinquième. Pour Lobachevsky, le 5ème postulat devenait : "étant donné une droite et un point qui n'est pas sur cette droite,
il n'existe aunce droite parallèle à la première passsant par ce point". Quel intérêt alors pour une géométrie pareil ? Aucun à cette époque, Lobachevsky, étant trop peu connu, sa découverte passa quasiment inaperçue. Ce n'est que près d'un demi siècle plus tard ( il me semble mais il me faudra vérifier mes dates ) que le mathématicien allemand, déjà célèbre, du nom de Riemann, s'intéressa aux travaux de Lobachevsky et à son tour démontra l'existence d'une géométrie vérifiant les quatre premiers axiomes d'Euclide, mais cette fois-ci le 5ème se présentait sous la forme : "étant donné une droite et un point qui n'est pas sur cette droite,
il existe une INFINITE de droites parallèles à la première passant par ce point". Cette découverte venant Georg Friedrich Bernhard Riemann lui même la communauté s'intéressa à cette découverte. Mais à nouveau la question de l'intérêt pratique se posa ? Il fallut attendre près d'un demi siècle à nouveau ( et oui Rome ne s'est pas construite en un jour ), pour voir enfin une utilisation importante de cette géométrie. Mais il est de notoriété générale que les "Mathématiques, ça sert à rien" comme on l'entend souvent dans les cours de lycée et surtout les Mathématiques de plus haut niveau. C'est Einstein (et oui lui il est partout) qui se servit de cette géométrie depuis appelée "géométrie riemannienne" pour décrire sa fameuse relativité ( la relativité d'Einstein est une notion de physique de très haut niveau qui ne s'étudie qu'en 4ème année de fac ).
Depuis, l'évolution des Mathématiques nous ont permis de prouver que des géométries ou deux, trois ou cinquante droites vérifient le 5ème postulat d'Euclide sont des géométries à part entière, mais aucune d'entre elles n'a d'intérêt réel.
Voilà c'est terminé pour ces deux premiers cours (ah oui je vous avais pas dit, mais vu que j'étais lancé, j'ai fait deux cours d'un coup), j'espère que cela vous aura, intéressé. Je suis conscient que la fin de l'étude sur la géométrie doit être très barbante, mais si jamais vous avez des questions ne vous génez pas !!!
(la où des balises du genre <postulat-1> apparaisse c'est que normalement il aurait du y avoir des images, mais j'ai pas réussi à les insérer, donc si vous les voulez envoyez moi un message avec votre adresse mail, je me ferais une joie de vous les envoyer rapidement, bonne lecture ).[b]
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